Harmonische rij

In de wiskunde is de harmonische reeks de afwijkende oneindige reeks:

∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + {\frac {\n=1} {\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{frac {3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {5}}+cdots } {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }

Divergerend betekent dat als je meer termen toevoegt, de som nooit ophoudt groter te worden. Het gaat niet in de richting van een enkele eindige waarde.

Oneindig betekent dat je altijd een andere term kunt toevoegen. Er is geen definitieve term voor de serie.

De naam komt van het idee van harmonischen in de muziek: de golflengten van de boventonen van een trillende snaar zijn 1/2, 1/3, 1/4, etc., van de fundamentele golflengte van de snaar. Afgezien van de eerste term is elke term van de reeks het harmonisch gemiddelde van de termen aan weerszijden ervan. De term harmonisch gemiddelde komt ook uit de muziek.

Geschiedenis

Het feit dat de harmonische reeksen uiteenlopen werd voor het eerst bewezen in de 14e eeuw door Nicole Oresme, maar werd vergeten. De bewijzen werden in de 17e eeuw geleverd door Pietro Mengoli, Johann Bernoulli en Jacob Bernoulli.

Harmonische sequenties zijn gebruikt door architecten. In de barokke periode gebruikten architecten ze in de verhoudingen van plattegronden, verhogingen en in de relaties tussen architectonische details van kerken en paleizen.

Afwijking

Er zijn verschillende bekende bewijzen van de divergentie van de harmonische reeks. Enkele daarvan staan hieronder vermeld.

Vergelijkingstest

Een manier om divergentie aan te tonen is het vergelijken van de harmonische reeks met een andere divergerende reeks, waarbij elke noemer wordt vervangen door de op één na grootste kracht van twee:

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + {\\\an5}&1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 5 + 6 + 8 + 9 + 5.1++frac {\frac }++frac {\frac {1}{kleur {rood}{mathbf {4} + + + + + + -kleur... +1... +1... +2... +2... +3... +3... +4... +1... +1... +2... +2... +3... +3... +4... + + + + + - kleur + rood + - mathbff. +cdots... {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\[12pt]\geq {}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}+\cdots \end{aligned}}}

Elke term van de harmonische reeks is groter dan of gelijk aan de overeenkomstige term van de tweede reeks en daarom moet de som van de harmonische reeks groter zijn dan of gelijk aan de som van de tweede reeks. De som van de tweede reeks is echter oneindig:

1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ( 1 16 + + 1 16 ) + = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + = ∞ {\frac {\frac {1}{2}}rechts} + {\frac {4}}!+\Oké! Links!+\8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Oké...+cdots...+1+++frac...++frac...+++frac...++frac...++cdots... {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}\!+\!{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty \end{aligned}}}

Hieruit volgt (door de vergelijkingstest) dat de som van de harmonische reeksen ook oneindig moet zijn. Meer precies, de vergelijking hierboven bewijst dat

∑ n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {displaystyle \sum _{n=1} {2^{k}} {frac {1}{n}}geq 1+{k}{2}} {\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}

voor elk positief geheel getal k.

Dit bewijs, voorgesteld door Nicole Oresme rond 1350, wordt beschouwd als een hoogtepunt van de middeleeuwse wiskunde. Het is nog steeds een standaardbewijs dat in de wiskundelessen wordt onderwezen.

Integrale test

Het is mogelijk om te bewijzen dat de harmonische reeks afwijkt door de som ervan te vergelijken met een oneigenlijke integraal. Denk hierbij aan de rangschikking van de rechthoeken in de figuur hiernaast. Elke rechthoek is 1 eenheid breed en 1/n eenheid hoog, dus de totale oppervlakte van het oneindige aantal rechthoeken is de som van de harmonische reeks:

gebied van rechthoeken = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + {\frac {begin{array} {c} {tekst van rechthoeken} {\frac {2}}+ {frac {3}+ {frac {4}}+ {frac {5}}+ccdots } {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area of}}\\{\text{rectangles}}\end{array}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }

De totale oppervlakte onder de curve y = 1/x van 1 tot oneindig wordt gegeven door een afwijkende onjuiste integraal:

gebied onder curve = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ . . } {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area under}}\\{\text{curve}}\end{array}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}

Aangezien dit gebied volledig binnen de rechthoeken ligt, moet de totale oppervlakte van de rechthoeken ook oneindig zijn. Dit bewijst dat

∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln ( k + 1 ) . {\\frac {\n=1} {\frac {1}{n}> {\frac {k+1} {x}, dx==mmogelijk(k+1)}. } {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(k+1).}

De veralgemening van dit argument staat bekend als de integrale test.

Illustratie van de integrale test.
Illustratie van de integrale test.

Afwijkingspercentage

De harmonische reeks loopt zeer langzaam uiteen. Zo is de som van de eerste 1043 termen minder dan 100. Dit komt omdat de gedeeltelijke sommen van de reeksen logaritmische groei hebben. In het bijzonder,

∑ n = 1 k 1 n = ln k + γ + ε k ≤ ( ln k ) + 1 {\frac {n}=1}^^k}{frac {n}}=ln k+gamma + \varepsilon _{k} {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}

waarbij γ de Euler-Mascheroni-constante is en εk ~ 1/2k die de 0 benadert als k naar oneindig gaat. Leonhard Euler bewees dit en ook dat de som die alleen de reciprociteit van de primes omvat ook afwijkt, dat wil zeggen:

∑ p prime 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + = ∞ . . } {\displaystyle \sum _{p{\text{ prime }}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty .}

Gedeeltelijke bedragen

De eerste dertig harmonische nummers

n

Gedeeltelijke som van de harmonische reeks, Hn

 

uitgedrukt in een fractie

decimaal

relatieve omvang

 

1

1

~1

1

 

 

2

3

/2

~1.5

1.5

 

 

3

11

/6

~1.83333

1.83333

 

 

4

25

/12

~2.08333

2.08333

 

 

5

137

/60

~2.28333

2.28333

 

 

6

49

/20

~2.45

2.45

 

 

7

363

/140

~2.59286

2.59286

 

 

8

761

/280

~2.71786

2.71786

 

 

9

7129

/2520

~2.82897

2.82897

 

 

10

7381

/2520

~2.92897

2.92897

 

 

11

83711

/27720

~3.01988

3.01988

 

 

12

86021

/27720

~3.10321

3.10321

 

 

13

1145993

/360360

~3.18013

3.18013

 

 

14

1171733

/360360

~3.25156

3.25156

 

 

15

1195757

/360360

~3.31823

3.31823

 

 

16

2436559

/720720

~3.38073

3.38073

 

 

17

42142223

/12252240

~3.43955

3.43955

 

 

18

14274301

/4084080

~3.49511

3.49511

 

 

19

275295799

/77597520

~3.54774

3.54774

 

 

20

55835135

/15519504

~3.59774

3.59774

 

 

21

18858053

/5173168

~3.64536

3.64536

 

 

22

19093197

/5173168

~3.69081

3.69081

 

 

23

444316699

/118982864

~3.73429

3.73429

 

 

24

1347822955

/356948592

~3.77596

3.77596

 

 

25

34052522467

/8923714800

~3.81596

3.81596

 

 

26

34395742267

/8923714800

~3.85442

3.85442

 

 

27

312536252003

/80313433200

~3.89146

3.89146

 

 

28

315404588903

/80313433200

~3.92717

3.92717

 

 

29

9227046511387

/2329089562800

~3.96165

3.96165

 

 

30

9304682830147

/2329089562800

~3.99499

3.99499

 

 

De eindige deelbedragen van de divergerende harmonische reeksen,

H n = ∑ k = 1 n 1 k , {\\\n}===sum _{k=1} {nrac {k},} {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}

worden harmonische nummers genoemd.

Het verschil tussen Hn en ln n komt overeen met de Euler-Mascheroni-constante. Het verschil tussen twee harmonische getallen is nooit een geheel getal. Geen enkel harmonisch getal is een geheel getal, behalve H1 = 1.

Verwante serie

Afwisselende harmonische reeksen

De serie

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - {\frac {n=1} {\frac {n+1}}{n}=1-{\frac {1}{2}}+{frac {3}}-{\frac {4}+{frac {5}}-- {cdots } {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }

staat bekend als de alternerende harmonische reeks. Deze serie convergeert door de wisselende reeks test. In het bijzonder is de som gelijk aan de natuurlijke logaritme van 2:

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - = ln 2.

De afwisselende harmonische reeks is weliswaar voorwaardelijk convergent, maar niet absoluut convergent: als de termen in de reeks systematisch worden herschikt, wordt de som in het algemeen anders en, afhankelijk van de herschikking, mogelijk zelfs oneindig.

De formule van de alternerende harmonische reeks is een speciaal geval van de Mercator-reeks, de Taylor-reeks voor het natuurlijke logaritme.

Een verwante serie kan worden afgeleid uit de Taylor-serie voor de arctangent:

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + = π 4 . {\frac {\n=0} {\frac {(-1)}=1-{\frac {1}{3}}+{frac {1}{5}}-{\frac {7}}+ccdots ={\frac {4}}. } {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}

Dit staat bekend als de Leibniz-serie.

Algemene harmonische reeksen

De algemene harmonische reeks is van de vorm

∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {displaystyle \sum _{n=0}^^infty }{frac {1}{an+b}},} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}

waarbij a ≠ 0 en b reële getallen zijn en b/a geen nul of een negatief geheel getal is.

Door de grensvergelijkingstest met de harmonische reeksen wijken alle algemene harmonische reeksen ook af.

p-serie

Een veralgemening van de harmonische reeks is de p-serie (of hyperharmonische reeks), gedefinieerd als

∑ n = 1 ∞ 1 n p {\\\\\\\an5} {n=1} {frac {1}{n}}}}} {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}

voor elk reëel getal p. Wanneer p = 1, is de p-reeks de harmonische reeks, die afwijkt. Ofwel de integrale test ofwel de Cauchy condensatietest toont aan dat de p-reeks voor alle p > 1 (in dat geval heet het de overharmonische reeks) convergeert en voor alle p ≤ 1 divergeert. Als p > 1 dan is de som van de p-reeks ζ(p), d.w.z. de Riemann zeta-functie beoordeeld op p.

Het probleem van het vinden van de som voor p = 2 wordt het Bazelse probleem genoemd; Leonhard Euler liet zien dat het π2/6 is. De waarde van de som voor p = 3 wordt de constante van Apéry genoemd, omdat Roger Apéry heeft aangetoond dat het een irrationeel getal is.

ln-serie

Gerelateerd aan de p-serie is de ln-serie, gedefinieerd als

∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\\an5} {\n=2} {\frac {1} {n(lln n)} {p}}}} {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}

voor elk positief reëel getal p. Dit kan worden aangetoond door de integrale test om af te wijken voor p ≤ 1, maar convergeren voor alle p > 1.

φ-serie

Voor elke convexe, reëel gewaardeerde functie φ zodat

limsup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {u tot 0 ^+}}{frac {varphi {u}2}rechts){varphi (u)} {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}},}

de serie

∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\an5} {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}

is convergerend. []

Willekeurige harmonische reeksen

De willekeurige harmonische reeks

∑ n = 1 ∞ s n n , {\\n=1} {\frac {s_{n}},} {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}

waarbij de sn onafhankelijk zijn, identiek verdeelde willekeurige variabelen die de waarden +1 en -1 met gelijke waarschijnlijkheid 1/2 nemen, is een bekend voorbeeld in de kanstheorie voor een reeks willekeurige variabelen die convergeren met waarschijnlijkheid 1. Het feit dat deze convergentie een gemakkelijk gevolg is van de stelling van de Kolmogorov drie-reeksen of van de nauw verwante Kolmogorov maximale ongelijkheid. Byron Schmuland van de Universiteit van Alberta onderzocht verder de eigenschappen van de willekeurige harmonische reeks, en toonde aan dat de convergente reeks een willekeurige variabele is met enkele interessante eigenschappen. In het bijzonder, de waarschijnlijkheid dichtheid functie van deze willekeurige variabele geëvalueerd op +2 of op -2 neemt de waarde 0,12499999999999999999999999999999999999764..., verschillend van 1/8 met minder dan 10-42. Schmuland's paper verklaart waarom deze waarschijnlijkheid zo dicht bij, maar niet precies, 1/8 ligt. De exacte waarde van deze kans wordt gegeven door het oneindige cosinusproduct integraal C2 gedeeld door π.

Uitgeputte harmonische reeksen

De uitgeputte harmonische reeks waarbij alle termen waarin het cijfer 9 ergens in de noemer voorkomt, zijn verwijderd, kan worden aangetoond dat ze convergeren en dat de waarde ervan minder dan 80 bedraagt. Wanneer alle termen die een bepaalde reeks cijfers (in een willekeurige basis) bevatten, worden verwijderd, convergeert de reeks in feite.

De eerste veertien gedeeltelijke sommen van de afgewisselde harmonische reeksen (zwarte lijnstukken) komen overeen met de natuurlijke logaritme van 2 (rode lijn).
De eerste veertien gedeeltelijke sommen van de afgewisselde harmonische reeksen (zwarte lijnstukken) komen overeen met de natuurlijke logaritme van 2 (rode lijn).

Toepassingen

De harmonische reeks kan contra-intuïtief zijn. Dit komt omdat het een divergerende reeks is, ook al worden de termen van de reeks kleiner en gaan ze naar nul. De divergentie van de harmonische reeks is de bron van enkele paradoxen.

  • De "worm op de rubberen band". Veronderstel dat een worm over een oneindig-elastisch één-meter elastiekje kruipt terwijl het elastiekje gelijkmatig wordt uitgerekt. Als de worm 1 centimeter per minuut reist en de band rekt 1 meter per minuut uit, zal de worm dan ooit het einde van het elastiekje bereiken? Het antwoord, tegen de verwachting in, is "ja", want na n minuten is de verhouding tussen de afstand die de worm aflegt en de totale lengte van het elastiekje als volgt

1 100 ∑ k = 1 n 1 k . {\frac {\frac }100} {\frac {k=1} {\frac {k}}. } {\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}

Omdat de serie willekeurig groot wordt naarmate n groter wordt, moet deze verhouding uiteindelijk groter zijn dan 1, wat betekent dat de worm het einde van de rubberen band bereikt. De waarde van n waarbij dit gebeurt moet echter extreem groot zijn: ongeveer e100, een getal van meer dan 1043 minuten (1037 jaar). Hoewel de harmonische reeksen wel divergeren, gebeurt dat heel langzaam.

  • Het probleem met de Jeep vraagt hoeveel brandstof er in totaal nodig is voor een auto met een beperkte brandstofcapaciteit om een woestijn te doorkruisen, waardoor er langs de route brandstofdruppels ontstaan. De afstand die de auto kan afleggen met een bepaalde hoeveelheid brandstof is gerelateerd aan de deelbedragen van de harmonische reeks, die logaritmisch groeien. En dus neemt de benodigde brandstof exponentieel toe met de gewenste afstand.
  • Het probleem van het blokstapelen: gezien de verzameling identieke dominostenen is het mogelijk om ze aan de rand van een tafel te stapelen, zodat ze over de rand van de tafel hangen zonder te vallen. Het contra-intuïtieve resultaat is dat ze kunnen worden gestapeld op een manier die de overhang zo groot maakt als je wilt. Dat wil zeggen, mits er voldoende dominostenen zijn.
  • Een zwemmer die elke keer dat hij de wand van het zwembad aanraakt sneller gaat. De zwemmer begint een zwembad van 10 meter over te steken met een snelheid van 2 m/s, en bij elke oversteek wordt nog eens 2 m/s bij de snelheid opgeteld. In theorie is de snelheid van de zwemmer onbeperkt, maar het aantal oversteekplaatsen dat nodig is om die snelheid te bereiken wordt erg groot; om bijvoorbeeld de lichtsnelheid te bereiken (zonder rekening te houden met de speciale relativiteit) moet de zwemmer 150 miljoen keer het zwembad oversteken. In tegenstelling tot dit grote aantal is de tijd die nodig is om een bepaalde snelheid te bereiken afhankelijk van de som van de reeksen bij een bepaald aantal zwembadkruisen:

10 2 ∑ k = 1 n 1 k . {\frac {10}{2} {\frac {\k=1} {n} {\frac {k}}. } {\displaystyle {\frac {10}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}

Uit de berekening van de som blijkt dat de tijd die nodig is om de lichtsnelheid te bereiken slechts 97 seconden bedraagt.

Het probleem van de blokstapeling: blokken die zijn uitgelijnd volgens de harmonische reeksen overbruggen spleten van elke breedte.
Het probleem van de blokstapeling: blokken die zijn uitgelijnd volgens de harmonische reeksen overbruggen spleten van elke breedte.

Gerelateerde pagina's

  • Harmonisch verloop
  • Lijst van de bedragen van de wederkerigheid

AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3