AlegsaOnline.com

Schrödingervergelijking

Schrijver: Leandro Alegsa

21-11-2020

De Schrödinger-vergelijking is een differentiaalvergelijking (een soort vergelijking die een onbekende functie heeft in plaats van een onbekend aantal) die de basis vormt van de kwantummechanica, een van de meest nauwkeurige theorieën over hoe subatomaire deeltjes zich gedragen. Het is een wiskundige vergelijking die door Erwin Schrödinger in 1925 werd bedacht. Het definieert een golffunctie van een deeltje of systeem (groep van deeltjes) die op elk punt in de ruimte voor elke gegeven tijd een bepaalde waarde heeft. Deze waarden hebben geen fysieke betekenis (in feite zijn ze mathematisch complex), toch bevat de golffunctie alle informatie die over een deeltje of systeem bekend kan zijn. Deze informatie kan worden gevonden door de golffunctie wiskundig te manipuleren om reële waarden met betrekking tot fysische eigenschappen zoals positie, momentum, energie, etc. terug te geven. De golffunctie kan worden opgevat als een beeld van hoe dit deeltje of systeem met de tijd werkt en beschrijft het zo volledig mogelijk.

De golffunctie kan in een aantal verschillende toestanden tegelijk zijn, en dus kan een deeltje veel verschillende posities, energieën, snelheden of andere fysische eigenschappen tegelijk hebben (d.w.z. "op twee plaatsen tegelijk zijn"). Echter, wanneer één van deze eigenschappen wordt gemeten heeft het slechts één specifieke waarde (die niet zeker voorspeld kan worden), en de golffunctie bevindt zich dus in slechts één specifieke toestand. Dit wordt de instorting van de golffunctie genoemd en lijkt te worden veroorzaakt door de daad van observatie of meting. De exacte oorzaak en interpretatie van het instorten van de golffunctie wordt nog steeds uitgebreid besproken in de wetenschappelijke gemeenschap.

Voor één deeltje dat slechts in één richting in de ruimte beweegt, ziet de Schrödinger vergelijking er zo uit:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\frac {\frac }{2m} {\frac {partieel {2}}Psi (x,\,t)+V(x,t)=ihbar {\frac {partieel t}Psi (x,t)=ihbar {\frac {partieel t}Psi (x,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

waarbij ik de vierkantswortel van -1 is, $i$ ℏ $\hbar$ is de constante van de gereduceerde Planck, t $t$ is tijd, x x is een positie, Ψ ( x , t ) {displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ is de golffunctie, en V ( x ) {displaystyle V(x)} $V(x)$ is de potentiële energie, een nog niet gekozen functie van de positie. De linkerzijde is gelijkwaardig aan de Hamiltoniaanse energieoperator die op Ψ werkt (Displaystyle). $\Psi$ .

Borstbeeld van Erwin Schrödinger, aan de Universiteit van Wenen. Het toont ook een Schrödinger vergelijking.

Tijd-onafhankelijke versie

Ervan uitgaande dat de golffunctie, Ψ ( x , t ) {\\Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , is scheidbaar, d.w.z. dat de functie van twee variabelen kan worden geschreven als het product van twee verschillende functies van een enkele variabele:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\Psi (x,t)=psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

dan kan met behulp van standaard wiskundige technieken van Partiële differentiaalvergelijkingen worden aangetoond dat de golfvergelijking kan worden herschreven als twee verschillende differentiaalvergelijkingen

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\\frac {dT(t)}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\frac {\hbar ^2}}{2m}}{frac {dx^2}}{dx{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

waarbij de eerste vergelijking uitsluitend afhankelijk is van de tijd T ( t ). $T(t)$ en de tweede vergelijking hangt alleen af van de positie ψ ( x ) {\psi (x)} $\psi (x)$ en waar E een $E$ nummer is. De eerste vergelijking kan onmiddellijk worden opgelost om te geven...

T ( t ) = e - i E t ℏ {\playstyle T(t)=e^{-i{frac {Et}{\hbar }}}}}. $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

waarbij e het nummer van Euler $e$ is. Oplossingen van de tweede vergelijking hangen af van de potentiële energiefunctie, V ( x ) {\playstyle V(x)} $V(x)$ en kan dus niet worden opgelost totdat deze functie is gegeven. Met behulp van kwantummechanica kan worden aangetoond dat het getal E {\\\\\\andige E} $E$ eigenlijk de energie van het systeem is, dus deze scheidbare golffuncties beschrijven systemen van constante energie. Omdat energie in veel belangrijke fysische systemen constant is (bijvoorbeeld: een elektron in een atoom), wordt vaak de tweede vergelijking van de hierboven gepresenteerde set van gescheiden differentiaalvergelijkingen gebruikt. Deze vergelijking staat bekend als de Tijd-onafhankelijke Schrödinger Vergelijking, omdat het niet gaat om t {\playstyle t} $t$ .

Interpretaties van de golffunctie

Geboren Interpretatie

Er zijn veel filosofische interpretaties van de golffunctie, en een paar van de belangrijkste ideeën worden hier behandeld. Het belangrijkste idee, genoemd de Geboren waarschijnlijkheidsinterpretatie (genoemd naar fysicus Max Born) komt uit het eenvoudige idee dat de golffunctie vierkant integreerbaar is; d.w.z.

∫ - | | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\\infty } ^ {\infty }! |Psi (x,t)|^{2}dx<infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Deze vrij eenvoudige formule heeft grote fysieke implicaties. Geboren in de veronderstelling dat de bovenstaande integraal bepaalt dat het deeltje ergens in de ruimte bestaat. Maar hoe kunnen we het vinden? We gebruiken de integraal

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\playstyle \int _{b}^{a}! \Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

waarbij P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} de $P(b<x<a)$ waarschijnlijkheid is van het vinden van het deeltje in de regio van b {displaystyle b} naar a {displaystyle $b$ a} . Met andere woorden, alles wat vooraf bekend kan zijn over een deeltje in het algemeen zijn waarschijnlijkheden, gemiddelden en andere statistische grootheden die geassocieerd zijn met zijn fysieke grootheden (positie, momentum, etc.). In principe is dit de Born interpretatie.

Interpretatie Kopenhagen

Een uitbreiding van bovenstaande ideeën kan worden gemaakt. Aangezien de Born interpretatie zegt dat het eigenlijke positiedeeltje niet bekend is, kunnen we het volgende afleiden. Als Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ oplossingen zijn voor de golfvergelijking, dan is de superpositie van die oplossingen, nl.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n Ψ n \Psi _{s}=c_{1} \Psi _{1}+c_{2} \Psi _{2}+c_{3}+c_{3}+dots +c_{n}}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

is ook een oplossing. Dit houdt dus in dat het deeltje in elke mogelijke positie bestaat. Wanneer een waarnemer komt en de positie van het deeltje meet, dan wordt de superpositie gereduceerd tot een enkele mogelijke golffunctie. (d.w.z., Ψ s {\playstyle \Psi _{s}) $\Psi _{s}$ → Ψ n {displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ Waarbij Ψ n {\playstyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ een van de mogelijke golffunctie toestanden is). Dit idee dat de positie van een deeltje niet precies bekend is, en dat een deeltje in meerdere posities tegelijk bestaat, geeft aanleiding tot het principe van de Onzekerheid. De wiskundige formulering van dit principe kan gegeven worden door

Δ x Δ p > ℏ 2 {\\\\Delta xDelta p>{frac {\hbar }} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Waar Δ x {displaystyle \Delta x} $\Delta x$ de onzekerheid in positie is, en Δ p {displaystyle \Delta p} $\Delta p$ de onzekerheid in momentum. Dit principe kan wiskundig worden afgeleid uit de Fourier-transformatie tussen momentum en positie zoals gedefinieerd door de kwantummechanica, maar we zullen het in dit artikel niet afleiden.

Andere interpretaties

Er zijn verschillende andere interpretaties, zoals de interpretatie van de vele werelden en het kwantumdeterminisme.

Vragen en antwoorden

V: Wat is de Schrödingervergelijking?

A: De Schrödingervergelijking is een differentiaalvergelijking die de basis vormt van de kwantummechanica en in 1925 werd bedacht door Erwin Schrödinger. Zij definieert een golffunctie van een deeltje of systeem die op elk punt in de ruimte voor elke gegeven tijd een bepaalde waarde heeft.

V: Welke informatie kan worden gevonden door de golffunctie te manipuleren?

A: Door de golffunctie wiskundig te manipuleren, kunnen reële waarden met betrekking tot fysische eigenschappen zoals positie, momentum, energie, enz. worden gevonden.

V: Wat betekent het als een deeltje tegelijkertijd veel verschillende posities, energieën, snelheden of andere fysische eigenschappen kan hebben?

A: Dit betekent dat de golffunctie in een aantal verschillende toestanden tegelijk kan verkeren en dat een deeltje dus tegelijkertijd veel verschillende posities, energieën, snelheden of andere fysische eigenschappen kan hebben (d.w.z. "op twee plaatsen tegelijk zijn").

V: Wat is golffunctie-instorting?

A: Golffunctie-instorting is wanneer een van deze eigenschappen wordt gemeten, deze slechts één specifieke waarde heeft (die niet met zekerheid kan worden voorspeld), en de golffunctie zich dus in slechts één specifieke toestand bevindt. Dit lijkt te worden veroorzaakt door de daad van waarneming of meting.

V: Wat zijn enkele componenten van de Schrödingervergelijking?

A: De componenten van de Schrödingervergelijking omvatten i die gelijk is aan wortel -1; ℏ die staat voor de gereduceerde constante van Planck; t die staat voor de tijd; x die staat voor de positie; Ψ (x , t) die staat voor de golffuncties; en V(x) die staat voor de potentiële energie als een nog niet gekozen functie van de positie.

V: Hoe interpreteren wij de ineenstorting van de golffunctie?

A: Over de precieze oorzaak en interpretatie van de ineenstorting van de golffunctie wordt in de wetenschappelijke gemeenschap nog veel gediscussieerd.