Afronden

Typische afrondingsproblemen kunnen zijn:

• Een irrationeel getal benaderen door een breuk. Bijvoorbeeld π door 22/7.
• Een breuk met periodieke decimale expansie benaderen door een eindige decimale breuk. Bijvoorbeeld 5/3 door 1,6667.
• Een rationaal getal vervangen door een breuk met een kleinere teller en noemer. Bijvoorbeeld 3122/9417 door 1/3.
• Een decimaal getal vervangen door een getal met minder cijfers. Bijvoorbeeld 2,1784 dollar door 2,18 dollar.
• Een decimaal geheel getal vervangen door een geheel getal met meer achterliggende nullen. Bijvoorbeeld. 23.217 mensen door 23.200 mensen.
• Een waarde vervangen door een veelvoud van een bepaald bedrag. Bijvoorbeeld. 27,2 seconden door 30 seconden (een veelvoud van 15).

De meest gebruikelijke manier van afronden is afronden op een geheel getal; of, meer in het algemeen, op een geheel veelvoud van een bepaalde verhoging - zoals afronden op hele tienden van seconden, honderdsten van een dollar, op hele veelvouden van 1/2 of 1/8 inch, op hele tientallen of duizenden, enz.

In het algemeen houdt het afronden van een getal x op een veelvoud van een bepaalde waarde m de volgende stappen in:

1. Deel x door m, laat de uitkomst y zijn;
2. Rond y af op een geheel getal, noem het q;
3. Vermenigvuldig q met m om de afgeronde waarde z te verkrijgen.

z = r o u n d ( x , m ) = r o u n d ( x / m ) ⋅ m {displaystyle z=mathrm {round} (x,m)=mathrm {round} (x/m)\dot m,}

Als u bijvoorbeeld x = 2,1784 dollar afrondt op hele centen (dat wil zeggen op een veelvoud van 0,01), berekent u y = x/m = 2,1784/0,01 = 217,84, vervolgens rondt u y af op het gehele getal q = 218, en ten slotte berekent u z = q×m = 218×0,01 = 2,18.

Bij het afronden op een vooraf bepaald aantal significante cijfers hangt de toename m af van de grootte van het af te ronden getal (of van het afgeronde resultaat).

De toename m is gewoonlijk een eindige breuk in het getallenstelsel dat wordt gebruikt om de getallen weer te geven. Voor weergave aan mensen betekent dat meestal het decimale getallenstelsel (m is dus een geheel getal maal een macht van 10, zoals 1/1000 of 25/100). Voor tussenwaarden die in digitale computers worden opgeslagen, wordt vaak het binaire getallenstelsel gebruikt (m is een geheel getal maal een macht 2).

De abstracte functie "afronden()" met één argument die een geheel getal teruggeeft uit een willekeurige reële waarde, heeft minstens een dozijn verschillende concrete definities die worden gepresenteerd in het gedeelte over afronden op gehele getallen. De abstracte functie "afronden()" met twee argumenten wordt hier formeel gedefinieerd, maar wordt in veel gevallen gebruikt met de impliciete waarde m = 1 voor de toename en wordt dan gereduceerd tot de equivalente abstracte functie met één argument, met ook hetzelfde dozijn verschillende concrete definities.

De meest elementaire vorm van afronden is het vervangen van een willekeurig getal door een geheel getal. Alle volgende afrondingsmodi zijn concrete implementaties van de abstracte functie "afronden()" met één argument, die in de voorgaande paragrafen is gepresenteerd en gebruikt.

Er zijn vele manieren om een getal y af te ronden op een geheel getal q. De meest gebruikelijke zijn

• Rond naar beneden af (of neem de bodem, of rond af naar min oneindig): q is het grootste gehele getal dat niet groter is dan y.

q = f l o o r ( y ) = ⌊ y ⌋ = - ⌈ - y ⌉ {\displaystyle q=mathrm {floor} (y)=linkse vloer y rechtse vloer = -linkse vloer - rechtse vloer ⌋.}

• Rond af naar boven (of neem het plafond, of rond af naar plus oneindig): q is het kleinste gehele getal dat niet kleiner is dan y.

q = c e i l ( y ) = ⌈ y ⌉ = - ⌊ - y ⌋ {\displaystyle q=mathrm {ceil} (y)=linkse vloer y rechtse vloer = -linkse vloer - rechtse vloer ⌉.}

• Afronden naar nul (of afkappen, of afronden op oneindig): q is het gehele getal van y, zonder de decimalen.

q = t r u n c a t e ( y ) = sgn ( y ) ⌊ | y | ⌋ = - sgn ( y ) ⌈ - | y | ⌉ {displaystyle q=mathrm {truncate} (y)=operatornaam {sgn}(y)⌋ ⌋ = - sgn ( y ) ⌈ ⌉\Operatornaam {sgn}(y)=linkse vloer -links|jerechtse vloer =-,}

• Rond af vanaf nul (of rond af naar oneindig): als y een geheel getal is, is q y; anders is q het gehele getal dat het dichtst bij 0 ligt en zodanig is dat y tussen 0 en q ligt.

q = sgn ( y ) ⌈ | y | ⌉ = - sgn ( y ) ⌊ - | y | ⌋ {\displaystyle q=operatornaam {sgn}(y) ⌊ ⌋ ⌋ ⌉ = - sgn ( y ) ⌊ | ⌋\operatorname {sgn}(y)\left\lfloor \left|yright|right\rfloor \left|yright^,}

• Rond af naar het dichtstbijzijnde: q is het gehele getal dat het dichtst bij y ligt. Dit wordt soms geschreven als q = ⌊ y ⌉ {{displaystyle q=\lfloor yrceil } (zie hieronder voor afbakeningsregels).

De eerste vier methoden worden gerichte afronding genoemd, omdat de verplaatsingen van het oorspronkelijke getal y naar de afgeronde waarde q allemaal gericht zijn naar of weg van dezelfde grenswaarde (0, +∞ of -∞).

Als y positief is, is afronden naar beneden hetzelfde als afronden-naar-nul, en is afronden naar boven hetzelfde als afronden-van-nul. Als y negatief is, is afronden naar beneden hetzelfde als afronden-van-nul, en is afronden naar boven hetzelfde als afronden-naar-nul. In elk geval, als y een geheel getal is, is q gewoon y. De volgende tabel illustreert deze afrondingsmethoden:

Wanneer veel berekeningen achter elkaar worden uitgevoerd, kan de keuze van de afrondingsmethode een zeer grote invloed hebben op het resultaat. Een beroemd voorbeeld betreft een nieuwe index die in 1982 door de Vancouver Stock Exchange werd opgesteld. Deze was aanvankelijk vastgesteld op 1000.000, en was na 22 maanden gedaald tot ongeveer 520 - terwijl de aandelenkoersen in die periode over het algemeen waren gestegen. Het probleem werd veroorzaakt doordat de index dagelijks duizenden keren werd herberekend en steeds werd afgerond op 3 cijfers achter de komma, zodat de afrondingsfouten zich opstapelden. Herberekenen met een betere afronding gaf een indexwaarde van 1098,892 aan het eind van dezelfde periode.

Voor het afronden van een getal y naar het dichtstbijzijnde gehele getal is een beslissingsregel nodig voor die gevallen waarin y precies halverwege tussen twee gehele getallen ligt - dat wil zeggen, wanneer het breukdeel van y precies 0,5 is.

De helft naar boven afronden

De volgende beslissingsregel, die afronden naar de helft (of afronden naar de helft plus oneindig) wordt genoemd, wordt in veel vakgebieden veel gebruikt. Dat wil zeggen dat halve waarden y altijd naar boven worden afgerond.

• Als de fractie van y precies 0,5 is, dan is q = y + 0,5.

q = ⌊ y + 0.5 ⌋ = - ⌈ - y - 0.5 ⌉ {\displaystyle q= ⌊ y+0.5 ⌉ = - ⌊ - y-0.5 ⌋.}

Door deze regel wordt bijvoorbeeld de waarde 23,5 afgerond naar 24, maar -23,5 wordt afgerond naar -23.

Dit is een van de twee regels die over het algemeen worden onderwezen in Amerikaanse klassen voor elementaire wiskunde.

Als de 0,5-fracties er niet waren, zouden de afrondingsfouten die door de afrondingsmethode naar boven worden geïntroduceerd vrij symmetrisch zijn: voor elke fractie die naar boven wordt afgerond (zoals 0,268), is er een complementaire fractie (namelijk 0,732) die naar beneden wordt afgerond, met hetzelfde bedrag. Bij het afronden van een grote reeks getallen met willekeurige breukdelen zouden deze afrondingsfouten elkaar statistisch compenseren, en de verwachte (gemiddelde) waarde van de afgeronde getallen zou gelijk zijn aan de verwachte waarde van de oorspronkelijke getallen.

De afrondingsregel is echter niet symmetrisch, aangezien de fracties die precies 0,5 zijn altijd naar boven worden afgerond. Deze asymmetrie introduceert een positieve bias in de afrondingsfouten. Als de breuk van y bijvoorbeeld bestaat uit drie willekeurige decimalen, dan zal de verwachte waarde van q 0,0005 hoger zijn dan de verwachte waarde van y. Om deze reden staat afronden naar boven met de afrondingsregel half naar boven ook wel (dubbelzinnig) bekend als asymmetrisch afronden.

Een reden om af te ronden op 0,5 is dat slechts één cijfer hoeft te worden onderzocht. Als u bijvoorbeeld 17,50000... ziet, bepalen de eerste drie cijfers, 17,5, dat het cijfer naar boven zou worden afgerond op 18. Als de omgekeerde regel zou worden gebruikt (half naar beneden afronden), dan zouden alle cijfers achter de komma moeten worden onderzocht om te bepalen of de waarde precies 17,5 is.

Rond half naar beneden

Men kan ook afronden half naar beneden (of afronden half naar min oneindig) in tegenstelling tot de meer gebruikelijke afronden half naar boven (de afronden half naar boven methode is een gebruikelijke conventie, maar is niets meer dan een conventie).

• Als de fractie van y precies 0,5 is, dan is q = y - 0,5.

q = ⌈ y - 0.5 ⌉ = - ⌊ - y + 0.5 ⌋ {\displaystyle q= ⌊ y-0.5 ⌋ = - ⌉ - y+0.5 ⌉.}

Bijvoorbeeld, 23,5 wordt afgerond naar 23, en -23,5 wordt afgerond naar -24.

De afrondingsregel voor de helft naar beneden is niet symmetrisch, aangezien de fracties die precies 0,5 zijn altijd naar beneden worden afgerond. Deze asymmetrie leidt tot een negatieve vertekening van de afrondingsfouten. Als de breuk van y bijvoorbeeld bestaat uit drie willekeurige decimalen, dan zal de verwachte waarde van q 0,0005 lager zijn dan de verwachte waarde van y. Om deze reden staat afronden naar beneden met de afrondingsregel half naar beneden ook wel (dubbelzinnig) bekend als asymmetrisch afronden.

De helft van nul afronden

De andere methode die vaak wordt onderwezen en gebruikt is de ronde helft van nul (of ronde helft naar oneindig), namelijk:

• Als de fractie van y precies 0,5 is, dan is q = y + 0,5 als y positief is, en q = y - 0,5 als y negatief is.

5 \rfloor =-operatornaam {sgn}(y)\left\lceil - \left|y\right|-0.5 \rceil \,}.

Bijvoorbeeld, 23,5 wordt afgerond naar 24, en -23,5 wordt afgerond naar -24.

Deze methode behandelt positieve en negatieve waarden symmetrisch, en is daarom vrij van algemene vertekening als de oorspronkelijke getallen met gelijke waarschijnlijkheid positief of negatief zijn. Deze regel introduceert echter nog steeds een positieve vertekening voor positieve getallen, en een negatieve voor de negatieve.

Het wordt vaak gebruikt voor valutaomrekeningen en prijsafrondingen (wanneer het bedrag eerst wordt omgezet in de kleinste significante onderverdeling van de valuta, zoals centen van een euro), omdat het gemakkelijk uit te leggen is door alleen het eerste deelcijfer in aanmerking te nemen, onafhankelijk van aanvullende precisiecijfers of het teken van het bedrag (voor strikte gelijkwaardigheid tussen de betaler en de ontvanger van het bedrag).

Rond de helft af naar nul

Men kan ook de helft naar nul afronden (of de helft van oneindig afronden) in tegenstelling tot de meer gebruikelijke methode van de helft van nul afronden (de methode van de helft van nul afronden is een gebruikelijke conventie, maar is niets meer dan een conventie).

• Als de fractie van y precies 0,5 is, dan is q = y - 0,5 als y positief is, en q = y + 0,5 als y negatief is.

q = sgn ( y ) ⌈ | y | - 0.5 ⌉ = - sgn ( y ) ⌊ - | y | + 0.5 ⌋ {displaystyle q=operatornaam {sgn}(y)⌋ ⌋ =-operatornaam {sgn}(y)⌈ ⌋ ⌉ = - sgn ( y ) ⌊ - | y | + 0.5 ⌋5 =-operatornaam {sgn}(y)‖floor - ‖ links|yright|+0.5‖floor ‖.}

Bijvoorbeeld, 23,5 wordt afgerond naar 23, en -23,5 wordt afgerond naar -23.

Deze methode behandelt positieve en negatieve waarden ook symmetrisch, en is daarom vrij van algemene vertekening als de oorspronkelijke getallen met gelijke waarschijnlijkheid positief of negatief zijn. Deze regel introduceert echter nog steeds een negatieve vertekening voor positieve getallen, en een positieve vertekening voor de negatieve.

Rond de helft af naar even

Een beslissingsregel die nog minder partijdig is, is de helft afronden tot even, namelijk

• Als de fractie van y 0,5 is, dan is q het even gehele getal dat het dichtst bij y ligt.

Zo wordt bijvoorbeeld +23,5 +24, +22,5 wordt +22, -22,5 wordt -22, en -23,5 wordt -24.

Deze methode behandelt positieve en negatieve waarden ook symmetrisch, en is daarom vrij van algemene vertekening als de oorspronkelijke getallen met gelijke waarschijnlijkheid positief of negatief zijn. Bovendien is voor de meeste redelijke verdelingen van y-waarden de verwachte (gemiddelde) waarde van de afgeronde getallen in wezen gelijk aan die van de oorspronkelijke getallen, zelfs als deze laatste allemaal positief (of allemaal negatief) zijn. Deze regel introduceert echter nog steeds een positieve vertekening voor even getallen (inclusief nul), en een negatieve vertekening voor oneven getallen.

Deze variant van de afrondingsmethode wordt ook wel unbiased rounding genoemd (dubbelzinnig, en een beetje ten onrechte), convergente afronding, statistische afronding, Nederlandse afronding, Gaussische afronding, of bankiersafronding. Dit wordt veel gebruikt in de boekhouding.

Dit is de standaard afrondingsmodus die wordt gebruikt in IEEE 754 rekenfuncties en operatoren.

Rond de helft af op oneven

Een andere tie-breaking regel die erg lijkt op round half to even, namelijk

• Als de breuk van y 0,5 is, dan is q het oneven gehele getal dat het dichtst bij y ligt.

Zo wordt bijvoorbeeld +22,5 +23, +21,5 wordt +21, -21,5 wordt -21, en -22,5 wordt -23.

Deze methode behandelt positieve en negatieve waarden ook symmetrisch, en is daarom vrij van algemene vertekening als de oorspronkelijke getallen met gelijke waarschijnlijkheid positief of negatief zijn. Bovendien is voor de meeste redelijke verdelingen van y-waarden de verwachte (gemiddelde) waarde van de afgeronde getallen in wezen gelijk aan die van de oorspronkelijke getallen, zelfs als deze laatste allemaal positief (of allemaal negatief) zijn. Deze regel introduceert echter nog steeds een negatieve vertekening voor even getallen (inclusief nul), en een positieve vertekening voor oneven getallen.

Deze variant wordt bijna nooit gebruikt in de meeste berekeningen, behalve in situaties waarin men wil voorkomen dat 0,5 of -0,5 wordt afgerond naar nul, of om te voorkomen dat de schaal van getallen die worden weergegeven als drijvende komma (met een beperkt bereik voor de schalingsexponent) wordt vergroot, zodat een niet oneindig getal zou worden afgerond naar oneindig, of dat een kleine denormale waarde zou worden afgerond naar een normale niet-nulwaarde (deze kunnen voorkomen met de afrondingsmodus half naar even). In feite verkiest deze modus het behoud van de bestaande schaal van gelijke getallen, en vermijdt waar mogelijk resultaten buiten het bereik.

Stochastische afronding

Een andere onpartijdige methode om stropdassen te verbreken is stochastisch afronden:

• Als het breukdeel van y .5 is, kies dan q willekeurig uit y + 0.5 en y - 0.5, met gelijke waarschijnlijkheid.

Net als bij afronden-half-om-half is deze regel in wezen vrij van algemene vertekening; maar hij is ook eerlijk tussen even en oneven q-waarden. Aan de andere kant introduceert deze regel een willekeurige component in het resultaat; twee keer dezelfde berekening uitvoeren op dezelfde gegevens kan twee verschillende resultaten opleveren. Ook is er sprake van onbewuste vertekening als mensen (in plaats van computers of toevalsapparaten) "willekeurig" beslissen in welke richting moet worden afgerond.

Afwisselend gelijkspel

Eén methode, onduidelijker dan de meeste, is om en om halfrond.

• Als het breukdeel 0,5 is, rond dan afwisselend naar boven en naar beneden af: bij de eerste keer dat een breukdeel van 0,5 voorkomt, rond je naar boven af, bij de tweede keer naar beneden, enzovoort.

Dit onderdrukt de willekeurige component van het resultaat, als voorkomens van 0,5 fractionele delen effectief kunnen worden geteld. Maar het kan nog steeds een positieve of negatieve vertekening veroorzaken, afhankelijk van de afrondingsrichting die aan het eerste voorval wordt toegekend, als het totale aantal voorkomens oneven is.

In sommige contexten kunnen alle bovenstaande afrondingsmethoden onbevredigend zijn. Stel bijvoorbeeld dat y een nauwkeurige meting is van een audiosignaal, dat wordt afgerond naar een geheel getal q om de opslag- of transmissiekosten te beperken. Als y langzaam met de tijd verandert, zal elke bovenstaande afrondingsmethode ertoe leiden dat q gedurende lange intervallen volledig constant is, gescheiden door plotselinge sprongen van ±1. Wanneer het q-signaal wordt afgespeeld, zullen deze stappen te horen zijn als een zeer onaangename ruis, en alle variaties van het oorspronkelijke signaal tussen twee gehele waarden zullen volledig verloren gaan.

Een manier om dit probleem te vermijden is om elke waarde y naar boven af te ronden met een waarschijnlijkheid die gelijk is aan zijn breuk, en naar beneden af te ronden met het complement van die waarschijnlijkheid. Bijvoorbeeld, het getal 23,17 wordt naar boven afgerond tot 24 met een waarschijnlijkheid van 0,17, en naar beneden tot 23 met een waarschijnlijkheid van 1 - 0,17 = 0,83. (Dit komt overeen met het naar beneden afronden van y + s, waarbij s een willekeurig getal is dat uniform verdeeld is tussen 0 en 1.) Met deze speciale afronding, bekend als dithering, worden de plotselinge stappen vervangen door een minder storende ruis, en blijven zelfs kleine variaties in het oorspronkelijke signaal tot op zekere hoogte behouden. Net als de stochastische benadering van het opheffen van stropdassen heeft dithering geen vooringenomenheid: als alle fractiewaarden even waarschijnlijk zijn, is afronding naar boven met een bepaald bedrag even waarschijnlijk als afronding naar beneden met datzelfde bedrag; en hetzelfde geldt voor de som van verschillende afgeronde getallen. Anderzijds introduceert dithering een willekeurige component in het resultaat, die veel groter is dan die van stochastische tie-breaking.

Meer precies zal de afrondingsfout voor elk gedithered getal een uniform verdeelde willekeurige variabele zijn met een gemiddelde waarde van nul, maar met een standaardafwijking 1 / 12 ≈ 0,2886 {{:1/{:12}}}. , wat beter is dan de 1/2 standaardafwijking bij de eenvoudige voorspellende methoden, maar iets hoger dan bij de eenvoudiger stochastische methode. De som van n afgeronde getallen zal echter een willekeurige variabele zijn met verwachte fout nul, maar met standaardafwijking n / 12 {\displaystyle {\sqrt {n}}/{\sqrt {12}}} (de totale resterende ruis) die semi-kwadratisch divergeert en gemakkelijk waarneembaar kan worden, zelfs als de standaardafwijking van de afrondingsfout per monster 1 / 12 n {\displaystyle 1/{\sqrt {12n}}} zal zijn, die langzaam semi-kwadratisch naar nul convergeert. Deze willekeurige verdeling kan dus nog steeds te hoog zijn voor sommige toepassingen waarbij veel gegevens worden afgerond.

Deze variant van de eenvoudige afrondingsmethode rondt waarden nog steeds af met een waarschijnlijkheid die gelijk is aan de fractie. Maar in plaats van een willekeurige verdeling te gebruiken voor het afronden van geïsoleerde monsters, wordt de afrondingsfout die optreedt bij elk afgerond monster opgeteld voor de volgende omringende elementen om te bemonsteren of te berekenen; deze opgetelde waarde wordt dan opgeteld bij de waarde van deze volgende bemonsterde of berekende waarden om af te ronden, zodat de gewijzigde waarden rekening houden met dit verschil met behulp van een voorspellend model (zoals Floyd-Steinberg dithering).

De gewijzigde waarden worden vervolgens afgerond met een van de bovengenoemde afrondingsmethoden, waarvan de beste stochastische of dithering-methoden zijn: in dit laatste geval zal de som van n afgeronde getallen nog steeds een willekeurige variabele zijn met een verwachte fout van nul, maar met een uitstekende constante standaardafwijking van 1 / 12 {{displaystyle 1/{{sqrt {12}}} in plaats van semi-kwadratisch af te wijken bij het afronden van geïsoleerde steekproeven; en de totale gemiddelde afrondingsfoutafwijking per afgerond monster zal 1 / ( n 12 ) {{\displaystyle 1/(n{\sqrt {12}})} zijn, die hyperbolisch naar nul zal convergeren, sneller dan met de semi-hyperbolische convergentie bij het afronden van geïsoleerde steekproeven.

In de praktijk wordt bij het afronden van grote reeksen bemonsterde gegevens (zoals bij het renderen van audio, beeld en video) de accumulatie van afrondingsfouten het vaakst gebruikt met een eenvoudige voorspellende afronding van de gewijzigde waarden (zoals afronding naar nul), omdat dan de hyperbolische convergentie naar nul van de totale gemiddelde afrondingsfoutbias en van de standaardafwijking daarvan behouden blijft. Deze verbetering wordt vaak gebruikt bij beeld- en geluidsverwerking (met name voor nauwkeurige herschaling en antialiasing, waar eenvoudige probabilistische dithering van geïsoleerde waarden nog steeds waarneembare ruis kan opleveren, soms zelfs erger dan de moiré-effecten die optreden bij eenvoudige niet-probabilistische afrondingsmethoden toegepast op geïsoleerde monsters).

De effectieve voortplanting van geaccumuleerde afrondingsfouten kan afhangen van de discrete dimensie van de bemonsterde gegevens die moet worden afgerond: bij de bemonstering van tweedimensionale beelden, waaronder gekleurde beelden (die de discrete dimensie van kleurvlakken toevoegen), of driedimensionale video's (die een discrete tijdsdimensie toevoegen), of op polyfone audiogegevens (die tijd- en kanaaldiscrete dimensies gebruiken), kan het nog steeds de voorkeur verdienen om deze fout in een voorkeursrichting voort te planten, of gelijkelijk in verschillende orthogonale dimensies, zoals verticaal vs. horizontaal voor tweedimensionale beelden, of in parallelle kleurkanalen op dezelfde positie en/of tijdstempel, en afhankelijk van andere eigenschappen van deze orthogonale discrete dimensies (volgens een waarnemingsmodel). horizontaal voor tweedimensionale beelden, of in parallelle kleurkanalen op dezelfde positie en/of tijdstempel, en afhankelijk van andere eigenschappen van deze orthogonale discrete dimensies (volgens een waarnemingsmodel). In die gevallen kunnen meerdere afrondingsfoutenaccumulatoren worden gebruikt (ten minste één voor elke discrete dimensie), of een (n-1)-dimensievector (of matrix) van accumulatoren.

In sommige van deze gevallen kunnen de discrete dimensies van de te bemonsteren en af te ronden gegevens niet orthogonaal worden behandeld: wanneer bijvoorbeeld met gekleurde beelden wordt gewerkt, kunnen de gegevens van de trichromatische kleurvlakken in elke fysieke dimensie (hoogte, breedte en eventueel tijd) opnieuw worden toegewezen met behulp van een perceptief kleurmodel, zodat de accumulatoren voor afrondingsfouten zo worden ontworpen dat de lichtheid met een grotere waarschijnlijkheid behouden blijft dan de tint of de verzadiging, in plaats van de fouten in elk orthogonaal kleurvlak onafhankelijk te propageren; en in stereofonische audiogegevens kunnen de twee afgeronde gegevenskanalen (links en rechts) samen worden afgerond om hun gemiddelde waarde te behouden in plaats van hun effectieve verschil dat de meeste resterende afrondingsfouten zal absorberen, op een evenwichtige manier rond nul.

In sommige contexten is het wenselijk een gegeven getal x af te ronden op een "nette" breuk - dat wil zeggen de dichtstbijzijnde breuk z = m/n waarvan teller m en noemer n een bepaald maximum niet overschrijden. Dit probleem is vrij verschillend van dat van het afronden van een waarde op een vast aantal decimale of binaire cijfers, of op een veelvoud van een bepaalde eenheid m. Dit probleem is verwant aan Farey-reeksen, de Stern-Brocotboom en voortgezette breuken.

Dit type afronding, dat ook wel afronding naar een logaritmische schaal wordt genoemd, is een variant van Afronding naar een opgegeven increment, maar met een increment dat wordt gewijzigd afhankelijk van de schaal en de grootte van het resultaat. Concreet is het de bedoeling het aantal significante cijfers te beperken door de waarde zo af te ronden dat niet-significante cijfers wegvallen. Dit type afronding komt impliciet voor bij getallen die worden berekend met floating-point waarden met beperkte precisie (zoals IEEE-754 float- en dubbeltypes), maar kan meer algemeen worden gebruikt om alle reële waarden met een willekeurig positief aantal significante cijfers en een willekeurige strikt positieve reële basis af te ronden.

Het kan bijvoorbeeld worden gebruikt in engineering graphics voor het weergeven van gegevens met een logaritmische schaal met variabele stappen (bijvoorbeeld golflengtes, waarvan de basis niet noodzakelijkerwijs een geheel getal is), of in statistische gegevens om klassen van reële waarden te definiëren binnen intervallen met exponentieel toenemende breedtes (maar het meest gebruikelijke gebruik is met gehele grondslagen zoals 10 of 2).

Dit type afronding is gebaseerd op een logaritmische schaal gedefinieerd door een vaste niet-nul reële schalingsfactor s (in de meeste gevallen is deze factor s=1) en een vaste positieve basis b>1 (niet noodzakelijk een geheel getal en meestal verschillend van de schalingsfactor), en een vast geheel getal n>0 van significante cijfers in die basis (die de waarde bepaalt van de toename die moet worden gebruikt voor de afronding, samen met de berekende effectieve schaal van het afgeronde getal).

Het primaire argument (en het daaruit resulterende afgeronde getal) wordt eerst voorgesteld in de exponentiële notatie x = s-a-m-b^c , waarbij het teken s ofwel +1 ofwel -1 is, de absolute mantisse a beperkt is tot het halfopen positieve interval [1/b,1], en de exponent c een willekeurig (positief of negatief) geheel getal is. In die voorstelling zitten alle significante cijfers in het fractionele deel van de absolute mantisse, waarvan het gehele getal altijd nul is.

Indien het brongetal (of het afgeronde getal) 0 is, wordt de absolute mantisse a gedefinieerd als 0, wordt de exponent c vastgesteld op een willekeurige waarde (0 in de meeste conventies, maar sommige floating-point representaties kunnen geen nul absolute mantisse gebruiken, maar reserveren een specifieke maximale negatieve waarde voor de exponent c om het getal 0 zelf weer te geven), en het teken s kan willekeurig worden gekozen tussen -1 of +1 (het wordt meestal ingesteld op +1 voor eenvoudige nul, of het wordt ingesteld op hetzelfde teken als het argument in de afgeronde waarde indien de getalrepresentatie toelaat positieve en negatieve nullen te onderscheiden, zelfs als zij uiteindelijk dezelfde numerieke waarde 0 vertegenwoordigen).

Een geschaalde exponentiële voorstelling als x = a-s-b^c kan ook gelijkwaardig worden gebruikt, met een ondertekende mantisse a die ofwel gelijk is aan nul ofwel binnen een van de twee halfopen intervallen (-1,-1/b] en [+1/b,+1) ligt, en dit zal het geval zijn in het onderstaande algoritme.

De stappen om deze geschaalde afronding te berekenen zijn over het algemeen vergelijkbaar met de volgende:

1. als x gelijk is aan nul, gewoon x teruggeven; anders:
2. zet x om in de geschaalde exponentiële weergave, met een ondertekende mantisse:
   x = a ⋅ s ⋅ b c {displaystyle x=a ⋅ s ⋅ b^{c},}.
1. laat x' de ongeschaalde waarde van x zijn, door deze te delen door de schaalfactor s:
   x ′ = x / s {Displaystyle x'=x/s,} ;
2. laat de schalingsexponent c één plus de basis-b-logaritme van de absolute waarde van x' zijn, naar beneden afgerond op een geheel getal (naar min oneindig):
   c = 1 + ⌊ log b | x ′ | ⌋ = 1 + ⌊ log b | x / s | ⌋ {\displaystyle c=1+ \left \left|x'\right \rfloor =1+ \left \log _{b}\left|x'\right \rfloor \,} ;
3. laat de getekende mantisse a het product zijn van x' gedeeld door b tot de macht c:
   a = x ′ ⋅ b - c = x / s ⋅ b - c {\displaystyle a=x'\cdot b^{-c}=x/s\cdot b^{-c},}
3. bereken de afgeronde waarde in deze weergave:
1. laat c' de oorspronkelijke schalingsexponent c van x' zijn:
   c ′ = c {{}.
2. laat m de verhoging zijn voor het afronden van de mantisse a volgens het aantal te behouden significante cijfers:
   m = b - n {Displaystyle m=b^{-n},}
3. laat a' de signed mantisse a zijn, afgerond volgens dit increment m en de gekozen afrondingsmodus:
   a ′ = r o u n d ( a , m ) = r o u n d ( x / s ⋅ b n - c ′ ) ⋅ b - n {\displaystyle a'= {afronding} (a,m)= {afronding} (x/s{cdot b^{n-c'})^cdot b^{-n}}.
4. als de absolute waarde van a' niet lager is dan b, verlaag dan n (vermenigvuldig de verhoging m met b), verhoog de schalingsexponent c', deel de getekende mantisse a door b, en begin de afronding van de nieuwe getekende mantisse a naar a' met dezelfde formule; deze stap kan alleen worden vermeden als de functie abtract "round()" altijd a afrondt naar 0 (d.w.z. als het een eenvoudige afronding is), maar is noodzakelijk als de functie a kan afronden naar oneindig, omdat de getekende mantisse in dat geval een hogere schalingsexponent kan hebben, waardoor er extra ruimte overblijft.d.w.z. als het een eenvoudige afronding is), maar is noodzakelijk als de functie a afrondt naar oneindig, omdat de afgeronde mantisse in dat geval een hogere schalingsexponent kan hebben, waardoor een extra cijfer precisie overblijft.
4. geef de afgeronde waarde terug:
   y = s c a l e d r o u n d ( x , s , b , n ) = a ′ ⋅ s ⋅ b c ′ = r o u n d ( x / s ⋅ b n - c ′ ) ⋅ s ⋅ b c ′ - n {\displaystyle y=\mathrm {scaledround} (x,s,b,n)=a'\dot b^{c'}=\mathrm {round} (x/s\dot b^{n-c'})\dot b^{c'-n} .

Voor de abstracte functie "afronden()" kan dit type afronding elk van de afrondingsmodi naar gehele getallen gebruiken die in het volgende deel uitvoeriger worden beschreven, maar het is meestal de afrondingsmodus naar het dichtstbijzijnde (met regels voor het verbreken van de gelijkstand die hieronder ook uitvoeriger worden beschreven).

Bijvoorbeeld:

• de geschaalde afronding van 1,234 met schaalfactor 1 in basis 10 en 3 significante cijfers (maximale relatieve precisie=1/1000), bij gebruik van een willekeurige afrondingsmodus naar het dichtstbijzijnde, levert 1,23 op;
• Een soortgelijke geschaalde afronding van 1,236 levert 1,24 op;
• Een vergelijkbare geschaalde afronding van 21,236 levert 21,2 op;
• Een vergelijkbare geschaalde afronding van 321,236 levert 321 op;
• de geschaalde afronding van 1,234 schaalfactor 1 in basis 10 en 3 significante cijfers (maximale relatieve precisie=1/1000), bij gebruik van de afrondingsmodus, levert 1,23 op;
• Een soortgelijke geschaalde afronding van 1,236 levert ook 1,23 op;
• de geschaalde afronding van 3 π / 7 ≈ 6,8571 ⋅ π ⋅ 2 - 4 {\displaystyle \scriptstyle 3\pi /7;\approx ¦6.8571 ⋅ 2 - 4 = 3 π / 8 met schaalfactor π {\displaystyle \scriptstyle \pi } in basis 2 en 3 significante cijfers (maximale relatieve nauwkeurigheid=1/8), bij gebruik van de afrondingsmodus, zal 6 ⋅ π ⋅ 2 - 4 = 3 π / 8 {\displaystyle \scriptstyle 6 \dot 2^{-4};= 3 /8} ;
• een soortgelijke geschaalde afronding van 5 π / 7 ≈ 5,7143 ⋅ π ⋅ 2 - 3 {\displaystyle \\scriptstyle 5\pi /7;\approx \5.7143 ⋅ ⋅ 2 - 3 = 5 π ⋅ π ⋅ 2 - 3 = 5 π / 8 {\displaystyle \scriptstyle 5 ⋅ 2^{-3};=;5} /8} ;
• een soortgelijke geschaalde afronding van π / 7 ≈ 4,5714 ⋅ π ⋅ 2 - 5 {\displaystyle \scriptstyle \pi /7;approx \4.5714 ⋅ π ⋅ 2 - 5 = π / 8 {\displaystyle \scriptstyle 4 ⋅ π ⋅ 2 - 5;= \pi /8} .
• Een soortgelijke geschaalde afronding van π / 8 = 4 ⋅ π ⋅ 2 - 5 {{{}} zal ook 4 ⋅ π ⋅ 2 - 5 = π / 8 {{{}} opleveren.
• een soortgelijke geschaalde afronding van π / 15 ≈ 4,2667 ⋅ π ⋅ 2 - 6 {\displaystyle \scriptstyle \pi /15;approx \4.2667 ⋅ ⋅ 2 - 6 = π / 16 {displaystyle \scriptstyle 4 ⋅ π ⋅ 2^{-6};= \pi /16}. .

Afgewerkt timmerhout, schrijfpapier, condensatoren en vele andere producten worden gewoonlijk slechts in enkele standaardmaten verkocht.

Veel ontwerpprocedures beschrijven hoe u een waarde bij benadering berekent, en vervolgens "afrondt" op een bepaalde standaardgrootte met zinnen als "naar beneden afronden op de dichtstbijzijnde standaardwaarde", "naar boven afronden op de dichtstbijzijnde standaardwaarde", of "afronden op de dichtstbijzijnde standaardwaarde".

Wanneer een reeks voorkeurswaarden gelijkmatig verdeeld is op een logaritmische schaal, kan het kiezen van de dichtstbijzijnde voorkeurswaarde bij een bepaalde waarde worden gezien als een soort geschaalde afronding. Dergelijke "afgeronde" waarden kunnen rechtstreeks worden berekend.

Bij floating-point rekenen heeft afronding tot doel een gegeven waarde x om te zetten in een waarde z met een bepaald aantal significante cijfers. Met andere woorden, z moet een veelvoud zijn van een getal m dat afhangt van de grootte van z. Het getal m is een macht van de basis (gewoonlijk 2 of 10) van de floating-point vorm.

Afgezien van dit detail zijn alle hierboven besproken afrondingsvarianten ook van toepassing op de afronding van drijvende-kommagetallen. Het algoritme voor dergelijke afronding wordt gepresenteerd in de paragraaf Geschaalde afronding hierboven, maar met een constante schalingsfactor s=1, en een gehele basis b>1.

Voor resultaten waarbij het afgeronde resultaat zou overlopen, is het resultaat voor een gerichte afronding ofwel de toepasselijke getekende oneindigheid, ofwel het hoogste representeerbare positieve eindige getal (of het laagste representeerbare negatieve eindige getal indien x negatief is), afhankelijk van de afrondingsrichting. Het resultaat van een overflow voor het gebruikelijke geval van afronden naar even is altijd de toepasselijke oneindigheid.

Indien het afgeronde resultaat bovendien zou onderlopen, d.w.z. indien de exponent de laagste representeerbare gehele waarde zou overschrijden, kan het effectieve resultaat ofwel nul zijn (eventueel getekend indien de representatie een onderscheid van tekens voor nullen kan handhaven), ofwel het kleinste representeerbare positieve eindige getal (of het hoogste representeerbare negatieve eindige getal indien x negatief is), eventueel een denormaal positief of negatief getal (indien de mantisse al zijn significante cijfers opslaat, in welk geval het meest significante cijfer nog steeds op een lagere positie kan worden opgeslagen door de hoogste opgeslagen cijfers op nul te zetten, en deze opgeslagen mantisse het meest significante cijfer niet laat vallen, iets wat mogelijk is bij basis b=2 omdat het meest significante cijfer altijd 1 is in die basis), afhankelijk van de afrondingsrichting. Het resultaat van een underflow in het gebruikelijke geval van afronden naar even is altijd de juiste nul.

Een getal tweemaal na elkaar afronden op verschillende precisies, waarbij de laatste precisie grover is, geeft niet gegarandeerd hetzelfde resultaat als eenmaal afronden op de laatste precisie, behalve in het geval van gericht afronden. Bijvoorbeeld 9,46 afronden op één decimaal geeft 9,5, en dan 10 bij afronding naar geheel getal met afronding half naar even, maar zou 9 geven bij rechtstreekse afronding naar geheel getal.

Sommige computertalen en de IEEE 754-2008 norm schrijven voor dat bij eenvoudige berekeningen het resultaat niet tweemaal mag worden afgerond. Dit was vooral een probleem met Java, omdat het is ontworpen om identiek te worden uitgevoerd op verschillende machines; er moesten speciale programmeertrucs worden gebruikt om dit te bereiken met x87 drijvende komma. De Java-taal werd gewijzigd om verschillende resultaten toe te staan wanneer het verschil er niet toe doet, en om een "strictfp"-kwalificatie te gebruiken wanneer de resultaten nauwkeurig moeten overeenstemmen.

Het is mogelijk om afgerond rekenen te gebruiken om de exacte waarde van een functie met een discreet domein en bereik te berekenen. Als we bijvoorbeeld weten dat een geheel getal n een perfect vierkant is, kunnen we de vierkantswortel ervan berekenen door n om te zetten in een drijvende-kommagetal x, de benaderde vierkantswortel y van x te berekenen met drijvende komma, en y vervolgens af te ronden op het dichtstbijzijnde gehele getal q. Als n niet te groot is, zal de floating-point afrondingsfout in y minder zijn dan 0,5, zodat de afgeronde waarde q de exacte vierkantswortel van n zal zijn.

William Kahan bedacht de term "The Table-Maker's Dilemma" voor de onbekende kosten van het afronden van transcendentale functies:

"Niemand weet hoeveel het zou kosten om y^w correct afgerond te berekenen voor elke twee floating-point argumenten waarbij het niet over/onderloopt. In plaats daarvan berekenen gerenommeerde wiskundebibliotheken elementaire transcendentale functies meestal binnen iets meer dan een halve ulp en bijna altijd ruim binnen één ulp. Waarom kan Y^W niet worden afgerond binnen een halve ulp zoals SQRT? Omdat niemand weet hoeveel rekenwerk dat zou kosten... Er bestaat geen algemene manier om te voorspellen hoeveel extra cijfers nodig zijn om een transcendentale uitdrukking te berekenen en correct af te ronden op een vooraf toegekend aantal cijfers. Zelfs het feit (indien waar) dat een eindig aantal extra cijfers uiteindelijk volstaat, kan een diepe stelling zijn."

De IEEE floating point standaard garandeert dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, vierkantswortel en floating point rest het correct afgeronde resultaat van de oneindig nauwkeurige bewerking opleveren. Een dergelijke garantie wordt echter niet gegeven voor complexere functies en deze zijn doorgaans slechts tot op de laatste bit nauwkeurig.

Met behulp van de stelling van Gelfond-Schneider en de stelling van Lindemann-Weierstrass kan worden aangetoond dat veel van de standaard elementaire functies transcendentale resultaten opleveren wanneer zij rationele niet-nul-argumenten krijgen; daarom is het altijd mogelijk dergelijke functies correct af te ronden. Het bepalen van een limiet voor een gegeven precisie op hoe nauwkeurig de resultaten moeten worden berekend voordat een correct afgerond resultaat kan worden gegarandeerd, kan echter veel rekentijd vergen.

Er bestaan nu enkele pakketten die volledige nauwkeurigheid bieden. Het MPFR-pakket geeft correct afgeronde resultaten van willekeurige precisie. IBM heeft een pakket geschreven voor snelle en nauwkeurige IEEE elementaire functies en in de toekomst zullen de standaardbibliotheken wellicht een dergelijke nauwkeurigheid bieden.

Het is mogelijk om goed gedefinieerde berekenbare getallen te bedenken die wellicht nooit correct kunnen worden afgerond, ongeacht het aantal cijfers. Als bijvoorbeeld de conjectuur van Goldbach waar maar onbewijsbaar is, dan is het onmogelijk om 0,5 + 10^-n correct af te ronden, waarbij n het eerste even getal groter dan 4 is dat niet de som van twee priemgetallen is, of 0,5 als zo'n getal niet bestaat. Dit kan echter worden benaderd tot een gegeven precisie, zelfs als het vermoeden onbewijsbaar is.

Het begrip afronding is zeer oud, misschien zelfs ouder dan het begrip deling. Sommige oude kleitabletten die in Mesopotamië zijn gevonden bevatten tabellen met afgeronde waarden van reciprocalen en vierkantswortels in basis 60. Afgeronde benaderingen van π, de lengte van het jaar en de lengte van de maand zijn ook oud.

De afrondingsmethode is sinds 1940 de ASTM-norm (E-29). De oorsprong van de termen onbevooroordeelde afronding en statistische afronding spreekt voor zich. In de vierde editie van 1906 van Probability and Theory of Errors noemde Robert Simpson Woodward dit "de computerregel", waarmee hij aangaf dat deze toen algemeen werd gebruikt door menselijke computers die wiskundige tabellen berekenden. Het artikel van Churchill Eisenhart uit 1947 "Effects of Rounding or Grouping Data" (in Selected Techniques of Statistical Analysis, McGrawHill, 1947, Eisenhart, Hastay, and Wallis, editors) gaf aan dat de praktijk al "ingeburgerd" was in de gegevensanalyse.

De oorsprong van de term "afronding door bankiers" blijft onduidelijker. Als deze afrondingsmethode ooit een standaard was in het bankwezen, zijn de bewijzen daarvoor uiterst moeilijk te vinden. Integendeel, hoofdstuk 2 van het verslag van de Europese Commissie "De invoering van de euro en de afronding van valutabedragen" suggereert dat er voorheen geen standaardaanpak bestond voor de afronding in het bankwezen; daarin wordt gespecificeerd dat "halve" bedragen naar boven moeten worden afgerond.

Tot de jaren tachtig was de afrondingsmethode die werd gebruikt bij drijvende-kommagetallen in computers meestal vastgesteld door de hardware, slecht gedocumenteerd, inconsistent en verschillend voor elk merk en model computer. Deze situatie veranderde nadat de IEEE 754 floating point standaard door de meeste computerfabrikanten was aangenomen. De standaard laat de gebruiker kiezen uit verschillende afrondingsmodi, en specificeert in elk geval precies hoe de resultaten moeten worden afgerond. Deze eigenschappen maakten numerieke berekeningen voorspelbaarder en machineonafhankelijker, en maakten een efficiënte en consistente implementatie van intervalrekenen mogelijk.

De meeste programmeertalen bieden functies of een speciale syntaxis om fractionele getallen op verschillende manieren af te ronden. De vroegste cijfertalen, zoals FORTRAN en C, boden slechts één methode, meestal afronding (naar nul). Deze standaardmethode kon in bepaalde contexten worden geïmpliceerd, zoals bij het toewijzen van een fractioneel getal aan een gehele variabele, of bij het gebruik van een fractioneel getal als index van een array. Andere vormen van afronding moesten expliciet worden geprogrammeerd; bijvoorbeeld het afronden van een positief getal naar het dichtstbijzijnde gehele getal kon worden uitgevoerd door 0,5 toe te voegen en af te ronden.

In de afgelopen decennia hebben de syntaxis en/of de standaardbibliotheken van de meeste talen echter ten minste de vier basisafrondingsfuncties (naar boven/boven, naar beneden/onder, naar het dichtstbijzijnde en naar nul). De afrondingsmethode kan verschillen per taal en versie, en/of kan door de programmeur worden gekozen. Verschillende talen volgen het voorbeeld van de IEEE-754 floating-point standaard, en definiëren deze functies als het nemen van een double precision float argument en het teruggeven van het resultaat van hetzelfde type, dat vervolgens kan worden omgezet in een geheel getal indien nodig. Aangezien het IEEE dubbelprecisieformaat 52 breukbits heeft, kan deze aanpak ongewenste overflows voorkomen in talen met 32-bits gehele getallen. Sommige talen, zoals PHP, bieden functies die een waarde afronden op een bepaald aantal decimale cijfers, bijvoorbeeld van 4321,5678 naar 4321,57 of 4300. Daarnaast bieden veel talen een "printf" of soortgelijke tekenreeksopmaakfunctie, waarmee een fractioneel getal kan worden omgezet in een tekenreeks, afgerond op een door de gebruiker opgegeven aantal decimalen (de precisie). Aan de andere kant is trunceren (afronden naar nul) nog steeds de standaard afrondingsmethode die door veel talen wordt gebruikt, vooral voor de deling van twee gehele waarden.

Aan de andere kant definiëren CSS en SVG geen specifieke maximale precisie voor getallen en metingen, die in hun Document Object Model en in hun interface-beschrijvingstaal-interface worden behandeld en weergegeven als strings alsof ze een oneindige precisie hebben, en geen onderscheid maken tussen gehele getallen en waarden met drijvende komma; de implementaties van deze talen zullen deze getallen echter doorgaans omzetten in IEEE-754 dubbele drijvende komma's voordat de berekende cijfers met een beperkte precisie worden weergegeven (met name binnen standaard Javascript of ECMAScript interface bindings).

Sommige disciplines of instellingen hebben normen of richtlijnen voor afronding uitgevaardigd.

Amerikaanse weerberichten

In een richtlijn van medio 1966 bepaalde het U.S. Office of the Federal Coordinator for Meteorology dat weergegevens moesten worden afgerond op het dichtstbijzijnde ronde getal, met de regel "rond de helft naar boven af". Bijvoorbeeld, 1,5 afgerond op een geheel getal wordt 2, en -1,5 wordt -1. Vóór die datum was de beslissingsregel "de helft van nul afronden".

Negatieve nul in de meteorologie

Sommige meteorologen schrijven "-0" om een temperatuur aan te geven tussen 0,0 en -0,5 graden (exclusief) die is afgerond op een geheel getal. Deze notatie wordt gebruikt wanneer het negatieve teken belangrijk wordt geacht, ongeacht hoe klein de grootte is; bijvoorbeeld bij het afronden van temperaturen in de schaal van Celsius, waar onder nul betekent dat het vriest.

• Rekenkundige precisie